数学のパラドックスで面白いものを紹介！

今回は, 個人的に面白いと思った数学のパラドックスを紹介します！

１．全能のパラドックス
全能とは何でもできるという意味である. さて、例えば私が全能であるとしよう.
すると私は何でもできるので誰も持ち上げられない岩を作ることもできる.
しかし, 誰も持ち上げられないので全能である私も持ち上げることはできない.
このことは、私が全能であることに反する（全能であれば持ち上げられるはず）.
そして, もし誰も持ち上げられない岩を作ることができなければ私は全能ではないことになり（何でもできるのが全能である）どちらにせよ矛盾する.

ということは全能などありえないということだ.

２．バナッハタルスキーのパラドックス
これは, 常識で考えればありえないことがおきることの例である.
球体等を適当に分割して組み替えると元と同じ球体等が２つできるというもの.
例えば, ここにおいしそうなケーキがあるとしよう.このケーキを４分の１ずつ８人で食べたい.
しかしケーキは１個しかないので足りない（ケーキは２個必要）.
このパラドックスを知っているある人が, よし適当に分割して組み替えるぞ！
ほら同じ”ケーキ”が２個できた！
周りからは拍手.しかしこのケーキ, 何かおかしい.
そう, こうして作った”ケーキ”は通常の意味で体積を定義できないのだ.
つまり食べられない可能性がある.
私はあまりこのパラドックスについて詳しくないのでこの”ケーキ”が実際食べられるかはわからないが, 直観に反する面白いパラドックスだった.

３．アキレスと亀のパラドックス
アキレスといえばものすごく速く走る人として有名. たいして亀はのろのろ歩く.
さて,そんなアキレスと亀が競争することになった.
アキレスは亀の１０ｍ手前から走る.亀は秒速１ｍ, アキレスは秒速１０ｍで走ることとする（計算を簡単にするためにこのようにした. 亀速いじゃんという突っ込みはなしで）.
スタート！
１秒後　アキレス　１０ｍ
　　　　亀　１１ｍ
そしてこの１ｍをアキレスが追い付くには０．１秒かかる
この間亀は０．１ｍ進む

１．１秒後
　　　　アキレス　１１ｍ
　　　　亀　　　　１１．１ｍ
そしてこの０．１ｍをアキレスが追い付くには０．０１秒かかる.
この間亀は０．０１ｍ進む

１．１１秒後　
　　　　アキレス　１１．１ｍ
　　　　カメ　１１．１１ｍ

以下同様にするといつまでたっても追いつけない！

これは無限和が収束するのに発散すると勘違いしているところからきている.

実際は

となり, 秒後に追い付くことがわかる.(これは初項1,公比の無限等比級数)

いかがだったでしょうか？

意外に世の中にはこういうパラドックスは溢れています.

今回はここまでにしたいと思います.