巡回置換、互換、そして部分群へ | 数学と雑多で有益な情報ブログ

今回は, 巡回置換、互換、部分群について述べる.

まず巡回置換についてみてみよう.

定義1 巡回置換　
$n\geq 2$ とする. $n$ 文字の置換 $\sigma$ が $r$ 個の文字を $i_1\rightarrow i_2\rightarrow i_3\rightarrow \cdots \rightarrow i_r\rightarrow i_1$ のように移し、他は動かさないとする.

このとき, $\sigma$ を長さ $r$ の巡回置換という.

$\sigma=(i_1\ i_2\ i_3\ \cdots\ i_r)$ と表す.

そして, 長さ2の巡回置換 $(i\ j)$ を互換という.

$(i_1\ i_2\ \cdots\ i_r)^{-1}=(i_r\ i_{r-1}\ \cdots i_1)$ であり, $(i\ j)^{-1}=(i\ j)$ である.

例2 $(1\ 2\ 3)= \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n \\ 2 & 3 & 1 & 4 & \cdots & n \\ \end{array} \right)$ .

例3 $(i\ j)= \left( \begin{array}{ccccc} \cdots & i & \cdots & j & \cdots \\ \cdots & j & \cdots & i & \cdots \\ \end{array} \right)$ .

ただし, $\cdots$ で省略しているところは上下とも同じ文字が並んでいる.

補題4 $\sigma$ , $\tau$ を互いに同じ文字を含まない巡回置換とするとき, $\sigma\tau=\tau\sigma$ となる.

例5 長さ3の巡回置換の二つの積は次のとおりである.

$(a\ b\ c)(a\ b\ d)=(a\ c)(b\ d)$ , $(a\ b\ c)(a\ d\ b)=(a\ d\ c)$ , $(a\ b\ c)(a\ d\ e)=(a\ d\ e\ b\ c)$ , $(a\ b\ c)(d\ e\ f)$ .

ただし, $a,b,c,d,e,f$ はすべて異なるとする.

例6 巡回置換は互換の積として表されるが, 表し方は一意ではない.

例えば, $(i_1\ i_2\ \cdots i_n)=(i_1\ i_n)(i_1\ i_{n-1})\cdots(i_1\ i_2)$ , $(i\ j)=(1\ j)(1\ i)(1\ j)$ である.

補題7 任意の $n$ 文字の置換は, $n-1$ 個の互換 $(1\ 2)(1\ 3)\cdots(1\ n)$ のいくつかの積で表される.

次に, $\sigma$ を互いに同じ文字を含まない巡回置換の積に表す.

$\sigma=(a_{11} \cdots a_{1d1})(a_{21} \cdots a_{2d2})(a_{r1} \cdots a_{rdr})$ 　 $d_1\geq d_2 \geq \cdots \geq d_r$

このとき $(d_1, \cdots , d_r)$ を置換 $\sigma$ の型という.

例8 4文字の置換の型は(4), (3,1), (2,2), (2,1,1), (1,1,1,1)の５つである.

定義9 部分群
次の条件を満たす群Gの部分集合Hを部分群という.

(1) $1 \in H$
(2) $a,b \in H \rightarrow ab \in H$
(3) $a \in H \rightarrow a^{-1} \in H$

また, 記号 $H \leq G$ と表す.

例10
$G$ 自身, それと単位元のみからなる集合 $\{1\}$ は常に $G$ の部分群であり自明な部分群と言われる.

例11
行列式が1である実係数 $n$ 次行列全体のなす集合を $SL_n(\mathbb R)$ で表すと, $SL_n(\mathbb R)$ は $GL_n(\mathbb R)$ の部分群である.

次の記号を導入する. 群 $G$ の部分集合 $S, T$ に対し

$ST=\{st\ |\ s \in S, t \in T\}$ , $S^{-1}=\{s^{-1}\ |\ s \in S\}$ .

$S$ が一つの元からなるときは, $\{s\}T=sT$ , $T\{s\}=Ts$ と表す. 加法群の場合は次のように定めることにする.

$S+T=\{s+t\ |\ s \in S, t \in T\}$ , $-S=\{-s\ |\ s \in S\}$ , $\{s\}+T=s+T$ , $T+\{s\}=T+s$ .

そしてこの定義から次を得る.

補題12
$G$ を群とし, $R,S,T$ を $G$ の部分集合とする. このとき, 次が成り立つ.

(1) $R(ST)=(RS)T$
(2) $(RS)^{-1}=S^{-1}R^{-1}$

補題13
$H$ を $G$ の部分群とし, $h \in H$ とする. このとき, 次が成立する.

$hH=Hh=H=H^{-1}$ .

補題14
$H$ を $G$ の空でない部分集合とするとき, 次が成立する.

$H\leq G \leftrightarrow HH\subset H, H^{-1}\subset H \leftrightarrow HH=H, H^{-1}=H$ .

補題15 $H, K$ を群 $G$ の部分群とするとき, 次が成立する.

$HK=KH \leftrightarrow HK\leq G$ .