群の定義について | 数学と雑多で有益な情報ブログ

群は大学で学ぶ代数学において基本的なものであり, 物理や化学で応用されている.
まず, 群について語る前に定義を述べる.

その前に本ブログで使用する記号を説明する.

∀　任意の
∃　存在する
∈　（元が）含まれる
$\mathbb{N}$ 自然数の集合
$\mathbb{Z}$ 整数の集合
$\mathbb{Q}$ 有理数の集合
$\mathbb{R}$ 実数の集合
$\mathbb{C}$ 複素数の集合

本ブログは数学ブログのため, 数学論文に合わせて句読点は、や。ではなく , や . で統一する.

定義1 群の定義　まず, 集合 $G$ に二項演算 $\bullet$ が定義されていて次の３つの条件を満たすとき集合 $G$ を群という.

注意1　当たり前ではあるが, $G$ の２元 $a$ , $b$ に対し $a \bullet b \in G$ でなければ二項演算が定義されているとはいえないのでこの点をまず確かめること.

（１）　∀ $a,b,c \in G$ に対し, $a \bullet(b \bullet c)=(a \bullet b) \bullet c$ が成立する.（結合法則）

（２）　∃ $e\in G,∀a\in G$ に対し,　 $a \bullet e=e \bullet a=a$ であるような元 $e$ がある.（単位元の存在）

（３）　∀ $a \in G$ に対し, ∃ $a^{\prime}\in G$ で $a \bullet a^{\prime}=a^{\prime}\bullet a=e$ が成立する.（逆元の存在。逆元 $a^{\prime}$ を $a^{-1}$ と書くことが多い）

このとき, 集合 $G$ を群と呼ぶ.

補足二項演算とは
集合 $G$ に対し, $f: (a,b)\in G \times G \rightarrow G \ni a\bullet b$ という写像を $G$ の二項演算という. たとえば, $a=5$ , $b=3$ に対し $a\bullet b=a+b$ で定めれば, $a+b=8$ である.

命題2 群 $G$ に対し, 次が成り立つ.

$a\bullet x=a\bullet y$ ならば $x=y$ が成り立つ.

証明)　群 $G$ には定義1の(3)より逆元が存在するので, 左から $a^{-1}$ （逆元）をかけると $a^{-1}\bullet a\bullet x=a^{-1}\bullet a\bullet y$ .

定義1の(3)より, $a^{-1}\bullet a=e$ である. よって、 $e\bullet x=e\bullet y$ .

定義1の(2)より, $e\bullet x=x$ , $e\bullet y=y$ .

∴ $x=y$ である. (証明終わり)

注意2 定義1の(2)と(3)では任意記号と存在記号が逆になっている. 定義1の(2)ではある元があって任意の $G$ の元 $a$ に対し $a\bullet e=e\bullet a=a$ となるとある.

わかりにくいので具体的にやってみよう.

$G$ を整数の集合とし, 演算を乗法（普通の掛け算）とする. このときある元 $e$ があってどんな $G$ の元 $a$ に対しても $a\bullet e=a$ .

よって $ae=a$ となり, $a(e-1)=0$ .

$a$ は任意であるので $e-1=0$ となり, $e=1$ となる.

イメージ　 $G$ のどんな元と演算しても結果が変わらないものが単位元. つまり乗法の場合, 1は何に1をかけても変わらないので1が単位元ということ.(10に1をかけようが1000に1をかけようが結果はそれぞれ10, 1000となることから明らか)

では $G$ を先ほどと同様に整数の集合とし, 演算を加法（普通の足し算）としたら単位元はどうなるだろうか？

答えは0. どんな整数に0を加えても結果は変わらない(0を足しても同じ数)ことからこのときの単位元は0であることがわかる.

ここでお気づきだとは思うが, 演算が変わると単位元は異なることがわかる. 単位元は一般的に集合 $G$ と演算によって変わるため, どの集合で考えているか, また演算は何かということを常に注意しなければならない.

次に定義1の(3)について

定義1の(2)ではどんな元と演算しても結果が変わらない元がある（しかもただ１つ）といっているのに対し, 定義1の(3)では任意の元に対し逆元が存在するといっている.

つまり逆元は存在すればよく, $G$ の元によって変わっても問題ない. これが単位元と逆元の大きな違いである.

さてここで, 単位元がただ1つしか存在しないことを証明しよう. 証明についてはほぼ自明であるが以下で証明する.

証明）　単位元が２つあると仮定し, それらをそれぞれ $e$ , $e^{\prime}$ とおく.

すると, 定義1の(2)から $a\bullet e=e\bullet a=a$ ,　 $a\bullet e^{\prime}=e^{\prime}\bullet a=a$ となる.　(どちらも単位元なので成り立つはずである)

$a$ は $G$ の任意の元なので, 左の式で $a=e^{\prime}$ , 右の式で $a=e$ とすると $e^{\prime}e=ee^{\prime}=e^{\prime}$ , $ee^{\prime}=e^{\prime}e=e$ .

よって, $e=e^{\prime}$ となり単位元がただ１つであることが証明された.（証明終わり）

さて定義1の(3)は, 任意の $G$ の元 $a$ に対しある元 $a^{\prime}$ （逆元）が存在し $a\bullet a^{\prime}=e$ となるとある.　具体的に集合 $G$ と演算を定義して考えてみよう.

集合 $G$ を整数の集合とし, 演算を加法とする. このとき, $a\bullet a'=0$ .（さきほどやったことより加法の単位元は0）

加法なので, $a+a^{\prime}=0$ . $a^{\prime}=-a$ となる. もちろん $-a\in \mathbb{Z}$ なので, 逆元は存在し $-a$ が逆元である.

そして, 逆元は $a\in G$ に対し一意的である.

証明) $a\in G$ に対し逆元が２つあったと仮定し, それらをそれぞれ $b,c$ とおく. $b,c$ はともに $a$ の逆元であるから, $ab=ba=e$ , $ac=ca=e$ が成り立つ.

よって, $b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c$ .

したがって, $b=c$ となり逆元は $a\in G$ に対し一意的に定まる. (証明終わり)

参考文献　[1] 代数学入門　花木　章秀
　　　　　[2] 群の基礎　解答編　岡山大学

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